Question

已知一圆的方程为x²+y²＝r².圆内有一定点P(a,b) 圆上有动点A,B 且PA⊥PB

Answer 1

设Q(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),而P(a,b),

有矩形性质得：x1+x2=a+x;y1+y2=b+y;

两方程平方相加得：

(x+a)^2+(y+b)^2=2r^2+2(x1x2+y1y2)

又PA⊥PB,即（b-y1）(b-y2)/(a-x1)(a-x2)=-1,

即（y2-y）（y1-y）/（x2-x）（x1-x）=-1

得x1x2+y1y2=x(x1+x2)+y(y1+y2)-x^2-y^2

=x(a+x)+y(b+y)-x^2-y^2=ax+by

所以第三个方程化为：

(x+a)^2+(y+b)^2=2r^2+2ax+2by

即x^2+y^2=2r^2-a^2-b^2