Question

已知在等比数列{an}中，a1=1，且a2是a1和a3-1的等差中项．

Answer 1

解题思路：（1）设出等比数列的公比，直接利用a₂是a₁和a₃-1的等差中项列式求出公比，则等比数列的通项公式可求；

（2）当n=1时由递推式求出b₁，模仿递推式写出n=n-1时的递推式，作差后代入a_n即可求出b_n．

（1）设等比数列{a_n}的公比为q，由a₂是a₁和a₃-1的等差中项得：

2a₂=a₁+a₃-1，∴2a1q＝a1+a1q2−1，

∴2q=q²，∵q≠0，∴q=2，

∴an＝2n−1；

（2）n=1时，由b₁+2b₂+3b₃+…+nb_n=a_n，得b₁=a₁=1．

n≥2时，由b₁+2b₂+3b₃+…+nb_n=a_n ①

b₁+2b₂+3b₃+…+（n-1）b_n-1=a_n-1②

①-②得：nbn＝an−an−1＝2n−1−2n−2＝2n−2．

bn＝

2n−2

n，

∴bn＝

1，n＝1

2n−2

n，n≥2．

点评：

本题考点： 等比数列的通项公式；等差数列的通项公式；数列的求和．

考点点评： 本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查了数列的递推式，解答的关键是想到错位相减，是基础题．