Question

如图三角形ABC和三角形ADE都是等腰直角三角形,CA=CB,EA=ED,D在AB

Answer 1

延长ED交BC于H,连结AF、FH、HG,

因为△ACB、△ADE都为等腰直角三角形,

所以∠ACH＝90°,∠AEH＝90°,∠CAD＝45°,∠EAD＝45°,

所以∠CAE＝∠CAD＋∠EAD＝90°,

所以四边形AEHC为矩形,则∠EHC＝90°,

因为CF＝FE,所以FH＝CF＝FE,则∠FCH＝∠FHC,

∠HFC＝180°－∠FCH－∠FHC＝180°－2*∠FCH

同理在直角三角形ACE中,CF＝FE,

所以AF＝CF＝FE,则有AF＝FH,∠FAE＝FEA,

则∠AFE＝180°－∠FAE－∠FEA＝180°－2*∠FEA,

因为AEHC为矩形,所以CH//AE,则∠FCH＝∠FEA,

所以∠HFC＝∠AFE,故A、F、H在同一直线上.

因为EHB＝90°,∠B＝45°,所以三角形HDB也为等腰直角三角形,

因为DG＝GB,所以HG⊥DB,

在直角三角形中,AF＝FH,所以GF＝AF＝CF＝FE＝1/2CE,

因为AF＝CF,所以∠FAC＝∠FCA,则∠HFC＝2*∠FAC,

因为GF＝AF,所以∠FAG＝∠FGA,则∠HFG＝2*∠FAG,

所以∠GFC＝∠HFC＋∠HFG＝2（∠FAC＋∠FAG）＝2*∠CAB,

因为∠CAB＝45°,所以∠GFC＝90°,

所以GF⊥CE,且GF＝1/2CE.