Question

试确定λ的值,使曲线积分∫(A→B)(x^4+4x*y^3)dx+(6x^(λ-1)*y^2-5y^4)dy与路径无关,

Answer 1

将原积分看为∫Pdx+Qdy

因为原积分与路径无关

所以P对y的偏导=Q对x的偏导；

P对y的偏导=12xy^2

Q对x的偏导=6(λ-1)x^(λ-2)y^2

12=6(λ-1) 1=λ-2

解得λ=3

取点C（1,0）

则路径AC上,dy=y=0,I1=∫(A→C)(x^4)dx,所以积分值为1/5;

则路径CB上,dx=0,x=1,I2=∫(C→B)(6y^2-5y^4)dy,所以积分值为-16;

所以当A,B分别为（0,0）,（1,2）时曲线积分的值=-79/5