解题思路：（1）求出函数的导函数，当a=-1时，f′（x）=lnx+2，令f′（x）=lnx+2＞0，得函数的单调递增区间是
(
1
e
2
，+∞)
，令f′（x）=lnx+2＜0，得函数的单调递减区间是
(0，
1
e
2
)
（2）把f（x）≥g（x）恒成立转化为对一切x∈（0，+∞），
a≤lnx+x+
2
x
恒成立，构造函数
F(x)＝lnx+x+
2
x
，研究F（x）的最小值；
（3）要证不等式在一个区间上恒成立，结合（1）把问题进行等价变形，研究函数f（x）的最小值和函数G（x）的最大值进行比较即可．
（1）函数的定义域是（0，+∞）
f′(x)＝lnx+x×
1
x−a＝lnx+1−a
当a=-1时，f′（x）=lnx+2
令f′（x）=lnx+2＞0，得x＞
1
e2
令f′（x）=lnx+2＜0，得0＜x＜
1
e2
∴函数的单调递增区间是(
1
e2，+∞)
函数的单调递减区间是(0，
1
e2)
（2）∵对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，
∴对一切x∈（0，+∞），xlnx-ax≥-x2-2恒成立．
即对一切x∈（0，+∞），a≤lnx+x+
2
x恒成立．
令F(x)＝lnx+x+
2
x
∵F′(x)＝
1
x+1−
2
x2＝
(x+2)(x−1)
x2
∴当0＜x＜1时，F′（x）＜0，函数递减，当x＞1时，F′（x）＞0，函数递增．
∴F（x）在x=1处取极小值，也是最小值，即Fmin（x）=F（1）=3
∴a≤3
（3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有lnx+1＞
1
ex−
2
ex成立．
等价于证明：对一切x∈（0，+∞），都有xlnx+x＞
x
ex−
2
e成立．
由（1）知，当a=-1时f（x）=xlnx+x，f(x)min＝f(
1
e2)＝−
1
e2
令G(x)＝
x
ex−
2
e，G′(x)＝
ex−xex
e2x＝
1−x
ex
当x∈（0，1）时，G′（x）＞0，函数G（x）递增，当x∈（1，+∞）时，G′（x）＜0，函数G（x）递减．f（x）min＞G（x）max
∴当x=1时，函数G（x）取到极大值，也是最大值．
∴G(x)max＝G(1)＝−
1
e
∵-[1/e＜−
1
e2]
∴f（x）min＞G（x）max
∴对一切x∈（0，+∞），都有lnx+1＞
1
ex−
2
ex成立．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．
考点点评： 本题主要考查了用导数研究函数的单调性和最大值，恒成立问题中用到了转化的数学思想．