解题思路：（1）由题意
g(x)＝ax−
b
x
−2lnx
及
g(e)＝be−
a
e
−2
可得
ae−
b
e
−2＝be−
a
e
−2
结合
e+
1
e
≠0
可求a，b的关系
（2）由（1）知
g
′
(x)＝a+
a
x
2
−
2
x
=
a
x
2
−2x+a
x
2
，构造函数h（x）=ax2-2x+a．要使g（x）在（0，+∞）为增函数，只需h（x）在（0，+∞）满足：h（x）≥0恒成立即
a≥
2x
1+
x
2
在(0，+∞)
上恒成立，利用基本不等式可求[2x
1+
x
2
得最大值，而
a≥
2x
1+
x
2
得最大值
（3）证明：①即证：lnx-x+1≤0（x＞0），设k（x）=lnx-x-1，由导数可判断x=1为k（x）的极大值点，而k（x）≤k（1）可证，
②由①知lnx≤x-1，又x＞0，可得
lnx/x
≤
x−1
x
＝1−
1
x]令x=n2，得
ln
n
2
n
2
≤1−
1
n
2
，从而可得
lnn
n
2
≤
1
2
(1−
1
n
2
)
，利用该不等式放缩可证
（1）由题意g(x)＝ax−
b/x−2lnx
∵g(e)＝be−
a
e−2
∴ae−
b
e−2＝be−
a
e−2
∴(a−b)e+(a−b)
1
e＝0
∴(a−b)(e+
1
e)＝0
∵e+
1
e≠0∴a=b
（2）由（1）知：由题意g(x)＝ax−
b
x−2lnx（x＞0）
g′(x)＝a+
a
x2−
2
x]=
ax2−2x+a
x2
令h（x）=ax2-2x+a．要使g（x）在（0，+∞）为增函数，只需h（x）在（0，+∞）满足：
h（x）≥0恒成立．
即ax2-2x+a≥0
a≥
2x
1+x2在(0，+∞)上恒成立
又00＜
2x
x2+1＝
2
x+
1
x≤
2
2
x•
1
x＝1(x＞0)
所以a≥1
（3）证明：①即证：lnx-x+1≤0（x＞0），
设k（x）=lnx-x-1，则k′(x)＝
1
x−1＝
1−x
x．
当x∈（0，1）时，k′（x）＞0，∴k（x）为单调递增函数；
当x∈（1，+∞）时，k′（x）＜0，∴k（x）为单调递减函数；
∴x=1为k（x）的极大值点，
∴k（x）≤k（1）=0．
即lnx-x+1≤0，∴lnx≤x-1．
②由①知lnx≤x-1，又x＞0，
∴[lnx/x≤
x−1
x＝1−
1
x]
∵nn∈N*，n≥2，令x=n2，得
lnn2
n2≤1−
1
点评：
本题考点： 函数与方程的综合运用．
考点点评： 本题主要考查了利用函数的导数判断函数的单调性、函数的极值的求解及利用放缩法证明不等式，还要注意裂项求和在解题中的应用，属于综合性试题
1年前
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