Question

已知定义域在R上的函数f（x）=|x+1|+|x-2|的最小值为a．

Answer 1

解题思路：（1）由绝对值不等式|a|+|b|≥|a-b|，当且仅当ab≤0，取等号；

（2）由柯西不等式：（a²+b²+c²）（d²+e²+f²）≥（ad+be+cf）²，即可证得．

（1）∵|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3，

当且仅当-1≤x≤2时，等号成立，

∴f（x）的最小值为3，即a=3；

（2）证明：由（1）知，p+q+r=3，又p，q，r为正实数，

∴由柯西不等式得，（p²+q²+r²）（1²+1²+1²）≥（p×1+q×1+r×1）²

=（p+q+r）²=3²=9，

即p²+q²+r²≥3．

点评：

本题考点： 二维形式的柯西不等式；绝对值不等式的解法．

考点点评： 本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．