解题思路：根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形ABC的顶角为36°，求出各角的度数，然后对各选项分析判断后利用排除法求解．
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，∠ABD=∠A=36°，
∴∠DBC=72°-36°=36°，
∠BDC=180°-36°-72°=72°，
∴BD=BC；
（1）BD平分∠ABC正确；
（2）AD=BD=CD正确；
（3）△BDC的周长=BC+CD+BD
=BC+CD+AD
=BC+AC
=AB+BC，正确；
（4）AD=BD≠CD，所以D不是AC的中点，故本选项错误．
故正确的命题是（1）（2）（3）．
点评：
本题考点： 线段垂直平分线的性质．
考点点评： 本题主要考查线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质和特殊等腰三角形“黄金三角形”的性质，需要熟练掌握并灵活运用，求得各角得度数是正确解答本题的关键．