Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=4an-3（n∈N*）．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）要证明数列为等比数列，只需证明数列的后一项比前一项为常数即可，先根据当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，求出数列{a_n}的递推关系式，再求

a

n

a

n−1

，得道常数，即可证明．

（Ⅱ）先根据（Ⅰ）求数列{a_n}的递推公式，代入b_n+1=a_n+b_n（n∈N^*），可得数列{b_n}的递推公式，再用迭代法，即可求出数列{b_n}的通项公式．

（Ⅰ）证明：由S_n=4a_n-3，n=1时，a₁=4a₁-3，解得a₁=1．

因为S_n=4a_n-3，则S_n-1=4a_n-1-3（n≥2），

所以当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=4a_n-4a_n-1，

整理得an＝

4

3an−1．又a₁=1≠0，

所以{a_n}是首项为1，公比为[4/3]的等比数列．

（Ⅱ）因为an＝(

4

3)n−1，

由b_n+1=a_n+b_n（n∈N^*），得bn+1−bn＝(

4

3)n−1．

可得b_n=b₁+（b₂-b_′1）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）

=2+

1−(

4

3)n−1

1−

4

3＝3(

4

3)n−1−1，（n≥2）．

当n=1时上式也满足条件．

所以数列{b_n}的通项公式为bn＝3(

4

3)n−1−1．

点评：

本题考点： 数列递推式；等比关系的确定．

考点点评： 本题考查了利用数列前n项和与通项关系求通项公式，以及迭代法求通项公式．