解题思路：（1）利用函数在x=1时f（x）有最大值，得到抛物线开口向下，且对称轴为x=1，然后利用函数g（x）=f（x）-x只有一个零点，解出a，b．（2）根据（1）中的解析式，我们分m＜n＜1，m≤1≤n，1＜m＜n三种情况分析讨论满足f（x）的定义域为[m，n]时，f（x）的取值范围是[3m，3n]的m，n值，最后综合讨论结果，即可得到答案．
（1）因为函数f（x）=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0），在x=1时，f（x）有最大值，
所以a＜0，对称轴为x=1，即−
b
2a＝1，所以b=-2a．
g（x）=f（x）-x=ax2+bx-x=ax2+（b-1）x，因为函数g（x）=f（x）-x只有一个零点．
所以△=（b-1）2=0，解得b=1，a＝−
1
2．
所以f(x)＝−
1
2x2+x．
（2）由（1）则二次函数的对称轴为x=1，
①当m＜n＜1时，f （x）在[m，n]上单调递增，f （m）=3m，f （n）=3n，
所以m，n是-[1/2]x2+x=3x的两根．
解得m=-4，n=0；
②当m≤1≤n时，3n=[1/2]，解得n=[1/6]．不符合题意；…10分
③当1＜m＜n时，f （x）在[m，n]上单调递减，所以f（m）=3n，f（n）=3m．
即-[1/2]m2+m=3n，-[1/2]n2+n=3m．
相减得-[1/2]（m2-n2）+（m-n）=3（n-m）．
因为m≠n，所以-[1/2]（m+n）+1=-3．所以m+n=8．
将n=8-m代入-[1/2]m2+m=3n，
得-m2+m=3（8-m）．但此方程无解．
所以m=-4，n=0时，f （x）的定义域和值域分别是[m，n]和[3m，3n]．…
点评：
本题考点： 函数的值域；函数的定义域及其求法；函数解析式的求解及常用方法．
考点点评： 本题考查了二次函数解析式的求法，其中（2）中讨论区间[m，n]与对称轴的关系，是解答二次函数问题最常见的思路．