Question

直线l过定点P（0，1），且与直线l 1 ：x-3y+10=0，l 2 ：2x+y-8=0分别交于A、B两点、若线段AB

Answer 1

方法一，设A（x ₀，y ₀），由中点公式，有B（-x ₀，2-y ₀），

∵A在l ₁上，B在l ₂上，∴

x 0 -3 y 0 +10=0

-2 x 0 +2- y 0 -8=0 ，解得

x 0 =-4

y 0 =2 ，

∴ k AP =

1-2

0+4 =-

1

4 ，故所求直线l的方程为： y=-

1

4 x+1 ，

故所求直线l的方程为x+4y-4=0；

方法2二，设所求直线l方程为：y=kx+1，l与l ₁、l ₂分别交于M、N、

解方程组

y=kx+1

x-3y+10=0 ，解得

x=

7

3k-1

y=

10k-1

3k-1 ，∴ N(

7

3k-1 ，

10k-1

3k-1 ) ；

解方程组

y=kx+1

2x+y-8=0 ，解得

x=

7

k+2

y=

8k+2

k+2 ，∴ N(

7

k+2 ，

8k+2

k+2 ) ，

∵M、N的中点为P（0，1），则有：

1

2 (

7

3k-1 +

7

k+2 )=0 ，∴ k=-

1

4 ．

故所求直线l的方程为x+4y-4=0；

方法3设所求直线l与l ₁、l ₂分别交于M（x ₁，y ₁）、N（x ₂，y ₂），P（0，1）为MN的中点，

则有

x 1 + x 2 =0

y 1 + y 2 =2 ，可得

x 2 =- x 1

y 1 y 2 =2- y 1 代入l ₂的方程得：2（-x ₁）+2-y ₁-8=0，即2x ₁+y ₁+6=0，

解方程组

x 1 -3 y 1 +10=0

2 x 1 + y 1 +6=0 ，解得

x 1 =-4

y 1 =2 ，所以M（-4，2）．

由两点式：所求直线l的方程为x+4y-4=0．