Question

已知数列{an}满足a1=1，a2=-1，当n≥3，n∈N*时，ann−1−an−1n−2＝3(n−1)(n−2)．

Answer 1

解题思路：（1）构造新数列，利用叠加法，即可确定数列{a_n}的通项公式；

（2）先求和，进而将不等式等价变形，利用不等式对任意实数λ∈[0，1]恒成立，可得不等式组，从而可得结论；

（3）由题意，三点满足方程y=2^x+5，函数为增函数，当n＞m＞k≥2时，0＜

k

P

k

P

m

＜

k

P

n

P

m

，从而对应垂直平分线的斜率k₁＜k₂＜0，故对应垂直平分线不可能相交于x轴，由此可得结论．

（1）n≥3，n∈N^*时，设bn＝

an

n−1，则bn−bn−1＝

3

(n−1)(n−2)=3(

1

n−2−

1

n−1)

∴b_n=b₃+（b₄-b₃）+…+（b_n-b_n-1）=b₃+3（[1/2]-[1/n−1]）

∵

an

n−1−

an−1

n−2＝

3

(n−1)(n−2)，∴

a3

2−

a2

1＝

3

2

∵a₂=-1，∴b3＝

a3

2=[1/2]

∴b_n=[1/2]+3（[1/2]-[1/n−1]）=[2n−5/n−1]（n≥3）

∴a_n=2n-5（n≥3）

n=2时，满足上式；n=1时，不满足上式

∴an＝

1，n＝1

2n−5，n≥2；

（2）S_n=

点评：

本题考点： 数列递推式；函数恒成立问题．

考点点评： 本题考查数列递推式，考查数列通项的确定，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．