Question

AB为抛物线y^2=2px (p大于0）的焦点弦,若|AB|=1 则AB中点的横坐标是__?若AB倾斜角为a,则|AB|

Answer 1

（1）

用准线,准线为x=-p/2,设焦点为F,AA1垂直准线于A1,BB1垂直准线于B1.

则有点AA1=AF,点BB1=BF,则四边形AA1B1B为直角梯形,则AB中点到准线的距离=（AA1+BB1)/2=(AF+BF)/2=AB/2=1/2,故AB中点的横坐标为（1-p)/2.

（2）

也是用准线,设BB1≤AA1,由图可知

设准线与x轴交与F0,所以FF0=p,

我们得到（AA1-p)/AF=(AF-p)/AF=cosa,(p-BB1)/BF=(p-BF)/BF=cosa,

解得AF=p/(1-cosa),BF=p/(1+cosa),所以AB=AF+BF=2p/(sina）^2.

技巧：看到长度的而且是抛物线的就立刻想到它的准线.