解释勾股原理

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  • 用勾(a)和股(b)分别表示直角三角形得到两条直角边,用弦(c)来表示斜边,则可得:

    勾2+股2=弦2

    亦即:

    a2+b2=c2

    勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理,相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前550年首先发现的.其实,我国古代得到人民对这一数学定理的发现和应用,远比毕达哥拉斯早得多.如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话,那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期,比毕达哥拉斯要早了五百多年.其中所说的勾3股4弦5,正是勾股定理的一个应用特例(32+42=52).所以现在数学界把它称为勾股定理,应该是非常恰当的.

    在稍后一点的《九章算术一书》中,勾股定理得到了更加规范的一般性表达.书中的《勾股章》说;“把勾和股分别自乘,然后把它们的积加起来,再进行开方,便可以得到弦.”把这段话列成算式,即为:

    弦=(勾2+股2)(1/2)

    亦即:

    c=(a2+b2)(1/2)

    中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理,而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明.最早对勾股定理进行证明的,是三国时期吴国的数学家赵爽.赵爽创制了一幅“勾股圆方图”,用形数结合得到方法,给出了勾股定理的详细证明.在这幅“勾股圆方图”中,以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的.每个直角三角形的面积为ab/2;中间懂得小正方形边长为b-a,则面积为(b-a)2.于是便可得如下的式子:

    4×(ab/2)+(b-a)2=c2

    化简后便可得:

    a2+b2=c2

    亦即:

    c=(a2+b2)(1/2)