Question

求非齐次方程y‘‘-2y‘+y=（e^x）/X的通解.

Answer 1

特征方程为a^2--2a+1=0,于是a=1,因此齐次方程的两个线性无关的解为

e^x,xe^x.再考虑特解.令特解e^x*f(x),则(e^x*f(x))'=e^x*(f(x)+f'(x)),

【e^x*f(x)】‘’=e^x(f(x)+2f‘(x)+f''(x)),代入可得f''(x)=1/x,因此f(x)=xlnx--x.

于是同解为C1e^x+C2xe^x+xlnx--x.