Question

已知x^2-xy+2y^2=1,求x^2+2y^2的最大值与最小值的和?

Answer 1

这个题可以直接用极坐标换元,简捷方便

设x=mcosa,y=√2msina/2

则x^2+2y^2=m^2

由m^2-(√2m^2sinacosa/2)=1即m^2-(√2m^2sin2a/4)=1

得出m^2=1/[1-(√2sin2a)/4]

∵-1≤sin2a≤1

得出(8-2√2)7≤m^2≤(8+2√2)/7

即(x^2+2y^2)_min=(8-2√2)7

(x^2+2y^2)_max=(8+2√2)/7

故它的最大值与最小值的和为16/7.