Question

如图，在三棱柱ABC­A 1 B 1 C 1 中，AA 1 C 1 C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA

Answer 1

(1)见解析 (2)

(3) 见解析

(1)证明：因为四边形AA ₁C ₁C为正方形，所以AA ₁⊥AC.

因为平面ABC⊥平面AA ₁C ₁C，且AA ₁垂直于这两个平面的交线AC，所以AA ₁⊥平面ABC.

(2)由(1)知AA ₁⊥AC，AA ₁⊥AB.

由题知AB＝3，BC＝5，AC＝4，

所以AB⊥AC.

如图，以A为原点建立空间直角坐标系A­xyz，则B(0,3,0)，A ₁(0,0,4)，B ₁(0,3,4)，C ₁(4,0,4)，

＝(0,3，－4)，

＝(4,0,0)．

设平面A ₁BC ₁的法向量为n＝(x，y，z)，

则

即

令z＝3，则x＝0，y＝4，所以n＝(0,4,3)．

同理可得，平面B ₁BC ₁的一个法向量为m＝(3,4,0)．

所以cos〈 n，m〉＝

＝

.

由题知二面角A ₁­BC ₁­B ₁为锐角，

所以二面角A ₁­BC ₁­B ₁的余弦值为

.

(3)证明：设D(x，y，z)是直线BC ₁上一点，且

＝λ

.

所以(x，y－3，z)＝λ(4，－3,4)．

解得x＝4λ，y＝3－3λ，z＝4λ.

所以

＝(4λ，3－3λ，4λ)．

由

·

＝0，即9－25λ＝0，解得λ＝

.

因为

∈[0,1]，所以在线段BC ₁上存在点D，

使得AD⊥A ₁B.此时，

＝λ＝

.