解题思路:(1)要求证:AD=CD,可以连接AC,转化为证明∠CAD=∠ACD.
(2)已知tan∠ECB=[3/4],就是已知∠DAP的正切值,根据△APC∽△CPB,可以根据相似三角形的对应边的比相等求得.
(1)证明:连接AC,
∵
AC=
CE,
∴∠CEA=∠CAE.
∵∠CEA=∠CBA,
∴∠CBA=∠CAE.
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°.
∴∠ACP+∠PCB=90°,
∵CP⊥AB,
∴∠PCB+∠CBA=90°,
∴∠CBA=∠ACP,
∴∠CAE=∠ACP
∴AD=CD.(4分)
(2)∵∠ACB=90°,∠CAE=∠ACP,
∴∠DCF=∠CFD.
∴AD=CD=DF=[5/4].(5分)
∵∠ECB=∠DAP,tan∠ECB=[3/4],
∴tan∠DAP=[DP/PA=
3
4].(6分)
∵DP2+PA2=DA2
∴DP=[3/4],PA=1.
∴CP=2.(7分)
∵∠ACB=90°,CP⊥AB,
∴△APC∽△CPB.(8分)
∴[AP/PC=
PC
PB].
∴PB=4.(9分)
点评:
本题考点: 圆周角定理;圆心角、弧、弦的关系;相交弦定理;相似三角形的判定与性质;锐角三角函数的定义.
考点点评: 本题主要考查了三角函数的值是有角的大小确定的,以及相似三角形的对应边的比相等.