(2003•黄冈)已知:如图,C为半圆上一点,AC=CE,过点C作直径AB的垂线CP,P为垂足,弦AE分别交PC,CB于

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  • 解题思路:(1)要求证:AD=CD,可以连接AC,转化为证明∠CAD=∠ACD.

    (2)已知tan∠ECB=[3/4],就是已知∠DAP的正切值,根据△APC∽△CPB,可以根据相似三角形的对应边的比相等求得.

    (1)证明:连接AC,

    AC=

    CE,

    ∴∠CEA=∠CAE.

    ∵∠CEA=∠CBA,

    ∴∠CBA=∠CAE.

    ∵AB是直径,

    ∴∠ACB=90°.

    ∴∠ACP+∠PCB=90°,

    ∵CP⊥AB,

    ∴∠PCB+∠CBA=90°,

    ∴∠CBA=∠ACP,

    ∴∠CAE=∠ACP

    ∴AD=CD.(4分)

    (2)∵∠ACB=90°,∠CAE=∠ACP,

    ∴∠DCF=∠CFD.

    ∴AD=CD=DF=[5/4].(5分)

    ∵∠ECB=∠DAP,tan∠ECB=[3/4],

    ∴tan∠DAP=[DP/PA=

    3

    4].(6分)

    ∵DP2+PA2=DA2

    ∴DP=[3/4],PA=1.

    ∴CP=2.(7分)

    ∵∠ACB=90°,CP⊥AB,

    ∴△APC∽△CPB.(8分)

    ∴[AP/PC=

    PC

    PB].

    ∴PB=4.(9分)

    点评:

    本题考点: 圆周角定理;圆心角、弧、弦的关系;相交弦定理;相似三角形的判定与性质;锐角三角函数的定义.

    考点点评: 本题主要考查了三角函数的值是有角的大小确定的,以及相似三角形的对应边的比相等.