正三棱锥底面边长为a,侧棱与底面成角为60°,过底面一边作一截面使其与底面成30°的二面角,则此截面的面积为______

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  • 解题思路:由于此题为正三棱锥且已知底面边长为a,作出顶点S在底面内的投影点O,由于为正三棱锥,所以S在底面内的投影点为三角形ABC的中心,连接SO,取边AB的中点,利用二面角的定义可以求出∠DEC即为二面角的平面角,∠DEC=60°即为侧棱与底面成角且值为60°,利用三角形的面积公式即可求出.

    ∵三棱锥S-ABC底面△ABC边长为a,

    侧棱与底面成角为60°,

    过底面一边作一截面使其与底面成30°的二面角,

    ∴如图,E为AB中点,

    CE=

    3

    2BC=

    3

    2a,

    ∠DEC=30°,∠DCE=60°,

    ∴∠EDC=90°,

    ∴DE=CE•sin60°=

    3

    2a•

    3

    2=[3/4]a,

    ∴S△ADB=[1/2]•a•[3/4]a=[3/8]a2

    故答案为[3/8]a2

    点评:

    本题考点: 与二面角有关的立体几何综合题.

    考点点评: 此题中点考查了学生的空间想象能力,还考查了三棱锥的定义及在三角形中利用边角关系求解三角形,还考查了线面角与二面角的定义及学生的计算三角形的计算能力.本题综合性强,难度大,易出错,解题时要认真审题,仔细解答.