设有n盏亮着的灯,每盏都用拉线开关,如果规定每次必须同时拉动n-1个拉线开关.试问:能否把所有的灯都关闭?

2个回答

  • 当n是偶数时,

    下面给出一钟可行的方案使所有的灯都关闭,

    将所有灯排成一个圆圈,

    从某个灯开始排号a1,a2,...,an,

    每次拉动n-1个灯的开关,

    第1次拉灯a1,a2,a3,...,a(n-1),

    第2次拉灯a2,a3,a4,...,an,

    第3次拉灯a3,a4,a5,...,an,a1,

    .

    第n-1次拉灯a(n-1),an,a1,...,a(n-4),a(n-3),

    第n次拉灯an,a1,a2,...,a(n-3),a(n-2),

    总共拉灯n次,每盏灯被拉n-1次,

    ∵n-1是奇数,∴所有灯都关闭了;

    当n是奇数时,

    下面用反证法证明不能把所有的灯都关闭,

    设每盏灯被拉动次数分别为k1,k2,...,kn,

    假设可以把所有的灯都关闭,

    那么k1,k2,...,kn都是奇数,

    ∵n是奇数,∴k1+k2+...+kn是奇数,

    设拉灯次数为m,

    那么m(n-1)=k1+k2+...+kn,

    ∵n-1是偶数,∴m(n-1)是偶数,

    等式左边是偶数而右边是奇数,

    这显然矛盾,

    那么假设不成立,

    那么n是奇数时,不能把所有的灯都关闭.