Question

y''+a^2y=e^x通解

Answer 1

令y''+a^2y=0,先解对应的齐次方程,

特征方程为:r^2+a^2=0,

r=±ai,

通解为:Y=e^(0x)(C1cosax+C2sinax)

Y=C1cosax+C2sinax,

e^x属于Ax^ke^(αx),α=1,不是特征方程的单根,故k=0,

设y*=Be^x,

y=Y+y*=C1cosax+C2sinax+Be^x,

y'=-C1asinax+C2acosax+Be^x,

y"=-C1a^2cosax-C2a^2sinax+Be^x,

-C1a^2cosax-C2a^2sinax+Be^x+a^2(C1cosax+C2sinax+Be^x)

=e^x(Ba^2+B)=e^x,

∴B=1/(1+a^2),

∴通解为:y=C1cosax+C2sinax+e^x/(1+a^2),(C1,C2是常数)