解题思路：（1）利用交点式求出抛物线的解析式；
（2）证明四边形POQC是平行四边形，则结论得证；
（3）①求出△AMN面积的表达式，利用二次函数的性质，求出△AMN面积最大时t的值．注意：由于自变量取值范围的限制，二次函数并不是在对称轴处取得最大值；
②直线PQ上的点到∠AQC两边的距离相等，则直线PQ能平分∠AQC，所以直线PQ能垂直平分线段MN．
（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+3）（x+1），
∵抛物线经过点C（0，3），
∴3=a×3×1，解得a=1．
∴抛物线的解析式为：y=（x+3）（x+1）=x2+4x+3．
（2）证明：在抛物线解析式y=x2+4x+3中，当x=-4时，y=3，∴P（-4，3）．
∵P（-4，3），C（0，3），
∴PC=4，PC∥x轴．
∵一次函数y=kx-4k（k≠0）的图象交x轴于点Q，当y=0时，x=4，
∴Q（4，0），OQ=4．
∴PC=OQ，又∵PC∥x轴，
∴四边形POQC是平行四边形，
∴∠OPC=∠AQC．
（3）①在Rt△COQ中，OC=3，OQ=4，由勾股定理得：CQ=5．
如答图1所示，过点N作ND⊥x轴于点D，则ND∥OC，
∴△QND∽△QCO，
∴[ND/OC＝
NQ
CQ]，即[ND/3＝
5−t
5]，解得：ND=3-[3/5]t．
设S=S△AMN，则：
S=[1/2]AM•ND=[1/2]•3t•（3-[3/5]t）=-[9/10]（t-[5/2]）2+[45/8]．
又∵AQ=7，∴点M到达终点的时间为t=[7/3]，
∴S=-[9/10]（t-[5/2]）2+[45/8]（0＜t≤[7/3]）．
∵-[9/10]＜0，[7/3]＜[5/2]，且x＜[5/2]时，y随x的增大而增大，
∴当t=[7/3]时，△AMN的面积最大．
②假设直线PQ能够垂直平分线段MN，则有QM=QN，且PQ⊥MN，PQ平分∠AQC．
由QM=QN，得：7-3t=5-t，解得t=1．
设P（x，x2+4x+3），
若直线PQ⊥MN，则：过P作直线PE⊥x轴，垂足为E，
则△PEQ∽△MDN，
∴[PE/EQ＝
MD
DN]，
∴
x2+4x+3
4−x＝
4
5
12
5
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数、相似三角形、平行四边形、角平分线的性质、二次函数的最值等知识点．试题难度不大，需要注意的是（3）①问中，需要注意在自变量取值区间上求最大值，而不能机械地套用公式．