⑴∵DF为⊙O的切线,∴OD⊥DF,
∵∠ABC=90°,OF=OF,OD=OB,
∴RTΔOFD≌RTΔOFB(HL),∴∠FOD=∠FOB,
∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,
又∠BOD=∠OAD+∠ODA=2∠OAD,
∴∠FOB=∠OAD,∴OF∥AE.
⑵设⊙O的半径为R,则BC=AB=2R,OC=√(OB^2+BC^2)=√5R,
∴CG=CD=√5R-R=(√5-1)R,
∴CG/CB=(√5-1)/2,∴G是BC的黄金分割点.
⑶连接BD交OF于H,∵AB是直径,∴BD⊥AE,
∴ΔCDF∽ΔCBO(直角、公共角),
∴DF/CD=OB/BC=1/2,∴DF=1/2CD=1/2(√5-1)R,
∵BC也是⊙O的切线,∴DF=BF,从而DF是RTΔBDE的中线,
∴BE=2DF=(√5-1)R,
根据射影定理得：
BE^2=DE*AE,AB^2=AE*AE,
∴DE/AE=BE^2/AB^2=(√5-1)^2R^2/(4R^2)=(6-2√5)/4=(3-√5)/2
(射影定理可从直角三角形相似得到,因步骤太多而用射影定理代替).