Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)在函数f（x）=2x-1的图象上，则数列{1an}的前n项和

Answer 1

解题思路：由点

(n，

S

n

)(n∈

N

*

)

在函数f（x）=2^x-1的图象上，知

S

n

＝

2

n

−1

，解得

a

n

＝

2

n−1

，所以

1

a

n

＝

1

2

n−1

=2^1-n，由此能求出数列

{

1

a

n

}

的前n项和．

∵点(n，Sn)(n∈N*)在函数f（x）=2^x-1的图象上，

∴Sn=2n-1，

∴a₁=S₁=2-1=1，

a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ-1）-（2^n-1-1）=2ⁿ-2^n-1=2^n-1，（n≥2）

当n=1时，2^n-1=2⁰=1=a₁，

∴an=2n-1，

∴[1

an=

1

2 n-1=2^1-n，

∴{

1

an}是以1为首项，

1/2]为公比的等比数列，

∴数列{

1

an}的前n项和T_n=

1×(1-

1

2 n)

1-

1

2=2-

1

2 n-1．

故答案为：2-

1

2 n-1．

点评：

本题考点： 数列与函数的综合；数列的求和．

考点点评： 本题考查数列与函数的综合，是中档题．解题时要认真审题，注意等比数列的性质和应用，合理地进行等价转化．