解题思路:(1)利用平行线分线段成比例定理,结合平行线的传递性,可证出MN与CD平行且相等,从而得到四边形CDNM是平行四边形,可得CM∥DN,最后根据线面平行的判定定理,证出CM∥平面PAD;
(2)由线面垂直的判定与性质,可证出CM⊥平面PAB,从而得到当CM⊥PB时,有平面MCD⊥平面PAB.再在Rt△PCB和Rt△PMC中,利用含有30°角的直角三角形的性质,算出PM=[1/4]PB,得到当平面MCD⊥平面PAB时,λ的值为[1/4].
(1)过M作MN∥AB于交PA于N,连接DN
∵△PAB中,PM:PB=1:3
∴MN:AB=1:3,得MN=[1/3]AB
∵MN∥AB,AB∥CD,∴MN∥CD
∵MN=[1/3]AB=CD,∴四边形CDNM是平行四边形,可得CM∥DN
∵CM⊈平面PAD,DN⊆平面PAD,
∴CM∥平面PAD;
(2)∵PC⊥底面ABCD,AB⊆平面ABCD,∴AB⊥PC
又∵AB⊥BC,PC、BC是平面PBC内的相交直线
∴AB⊥平面PBC
∵CM⊆平面PBC,∴CM⊥AB,
因此,当CM⊥PB时,可得CM⊥平面PAB,再结合CM⊆平面MCD,可得平面MCD⊥平面PAB.
∵Rt△PCB中,∠PBC=30°,∴PB=2PC
而Rt△PMC中,∠PCM=30°,所以PM=[1/2]PC=[1/4]PB,得[PM/PB]=[1/4]
∴当平面MCD⊥平面PAB时,λ的值为[1/4]
点评:
本题考点: 平面与平面垂直的性质;直线与平面平行的判定.
考点点评: 本题给出底面为直角梯形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥,求证线面平面并且讨论了面面垂直,着重考查了空间线面平面的判定和线面垂直、面面垂直的判定与性质等知识,属于基础题.