解题思路：（Ⅰ）将a=2代入，对函数f（x）进行求导得到切线的斜率k=f′（1），切点为（1，f（1）），根据点斜式即可写出切线方程；
（Ⅱ）由题意知先求函数f（x）的定义域，再由（1）得出的导数，设h（x）=ax2-2x+a．下面对a进行分类讨论：①当若0＜a＜1时，②当a≥1时，由此可知f（x）的单调增区间．
（Ⅲ）存在一个x0∈[1，e]使得f（x0）＞g（x0），则ax0＞2lnx0，等价于a＞
2l
nx
0
x
0
，令F（x）=[2lnx/x]，等价于“当x∈[1，e]时，a＞F（x）min”．利用导数易求其最小值
（Ⅰ）当a=2时，函数f（x）=2（x-[1/x]）-2lnx，
f（1）=0，f′（x）=2（1+[1
x2）-
2/x]．
曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f′（1）=2．
从而曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-0=2（x-1），
即2x-y-2=0．
（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
∵f′（x）=
ax2−2ax+a
x2，
不妨设h（x）=ax2-2x+a，
当a＞0时，△=4-4a2，
①若0＜a＜1，
由f′（x）＞0，即h（x）＞0，得
0＜x＜
1−
1−a2
a或x＞
1−
1−a2
a；
∴函数f（x）的单调递增区间为（0，
1−
1−a2
a）和（
1−
1−a2
a，+∞）；
②若a≥1，h（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
则f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
（Ⅲ）因为存在一个x0∈[1，e]使得f（x0）＞g（x0），
则ax0＞2lnx0，等价于a＞
2lnx0
x0．
令F（x）=[2lnx/x]，等价于“当x∈[1，e]时，a＞F（x）min”．
对F（x）求导，得F′（x）=
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
考点点评： 本题考查导数的几何意义、导数研究函数单调性及求函数的最值问题，考查学生分析问题解决问题的能力，对于“能成立”问题及“恒成立”问题往往转化为函数最值解决．