一、先解决上题.
如图一所示：
①连接OA、OB、OC、过点O作OM⊥AD于M,
因为：OE⊥BC
由垂径定理可知：BE=CE加上OE=1/2BC
能够推出OE=BE=CE
所以∠1=∠2=45°而∠BAC=1/2∠BOC=45°
②由折叠可知：∠G=∠F=90°∠3+∠4=∠BAC=45°
所以：∠GAF=90°加上AG=AF=AD
对于四边形AFHG来说,就有三个角是直角,并且有一组邻边相等
所以四边形AFHG是正方形.
③BD=6,CD=4可知：BC=10、OE=BE=CE=5
所以OA=OB= 5√2, OM=ED=1
在直角△AOM中可求出AM=7又知DM=OE=5
所以：AD=12
二、关于探究问题的解答,你原题中没有图形,并且数字不全,根据意思回答如下：
（2）知识迁移之①由托勒密定理可知：PB•AC＋PC•AB＝PA•BC．
而AC=AB＝BC．约分可得PB＋PC＝PA（这个你自己作图可知）.
②根据(2)①的结论,我们有如下探寻△ABC(其中∠A、∠B、∠C均小于120 )的费马点和费马距离的方法：
第一步：如图二,在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆；
第二步：在BC⌒上取一点P0,连接P0A、P0B、P0C、P0D．
易知P0A＋P0B＋P0C＝P0A＋(P0B＋P0C)＝P0A＋P0D（此处没有,想来是一个填空）
第三步：请你根据(1)①中定义,在图4中找出△ABC的费马点P,线段（AD） 的长度即为△ABC的费马距离．
关于第三步的解释：连接AD交BC⌒于点P,点P就是费马点,AD=PA+PB+PC就是费马距离,由于PA与PD此时在一条直线上,因而其和总小于其他地方的P0A＋P0D.
（3）中的知识应用作法同上,不过你的图5我没有看到,费马距离就没法具体来求了,只能给你一般的求法,假如知道三角形的三边abc,则由高中要学的正余弦定理和海伦公式能够推出AD=PA+PB+PC=√{(a^2+b^2+c^2+√[3(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)])/2}.
当然,如果你的数字比较特殊,我们应该还有简单的具体求法.
说明：由于百度知道里面只能上传一个图片,图二就没法显示了,放在我的QQ空间里面,你自己去看吧,地址在下面.
初三的学生能够思考到这些问题,的确是不容易的,看来你是一个挺聪明用功的学生,