解题思路:对于(I)因为an=2n,bn=3•2n,则可验证an+1与an的关系,bn+1与bn的关系*,写出表达式,即可验证数列{an}、{bn}是否为“M类数列”.
对于(II)(1)因为an+an+1=3t•2n,可依此相加列出数列{an}前2009项和等式,可以看出是等比数列的求和公式求得.
(2)可假设数列{an}是“M类数列”,则存在实常数p,q使得an+1=pan+q对于任意n∈N*都成立,且有an+2=pan+1+q对于任意n∈N*都成立,再根据题意解除t,求出对应常数即可.
(I)因为an=2n,则有an+1=an+2,n∈N*
故数列{an}是“M类数列”,对应的实常数分别为1,2.
因为bn=3•2n,则有bn+1=2bnn∈N*
故数列{bn}是“M类数列”,对应的实常数分别为2,0.
(II)(1)因为an+an+1=3t•2n(n∈N*)
则有a2+a3=3t•22,a4+a5=3t•24,a2006+a2007=3t•22006,a2008+a2009=3t•22008.
故数列{an}前2009项的和S2009=a1+(a2+a3)+(a4+a5)++(a2006+a2007)+(a2008+a2009)+(a2008+a2009)=2+3t•22+3t•24++3t•22006+3t•22008=2+t(22010-4)
故答案为2+t(22010-4)
(2)若数列{an}是“M类数列”,则存在实常数p,q
使得an+1=pan+q对于任意n∈N*都成立,
且有an+2=pan+1+q对于任意n∈N*都成立,
因此(an+1+an+2)=p(an+an+1)+2q对于任意n∈N*都成立,
而an+an+1=3t•2n(n∈N*),且an+1+an+2=3t•2n+1(n∈N*)
则有3t•2n+1=3t•p2n+2q对于任意n∈N*都成立,可以得到t(p-2)=0,q=0,
①当p=2,q=0时,an+1=2an,an=2n,t=1,经检验满足条件.
②当t=0,q=0时,an+1=-an,an=2(-1)n-1,p=-1经检验满足条件.
因此当且仅当t=1或t=0,时,数列{an}也是“M类数列”.对应的实常数分别为2,0,或-1,0.
点评:
本题考点: 数列的概念及简单表示法;数列的求和.
考点点评: 此题主要考查数列的概念及其简单的表示法,由题目定义一个数列求这个数列的一系列性质的问题.题目较复杂属于综合题.