如图,△ABC是⊙O的内接三角形,直径GH⊥AB,交AC于D,GH,BC的延长线相交于E.

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  • 解题思路:(1)由于三角形CDE和AOD中已经有一组对顶角,那么我们可通过证明它们的外角∠AOG和∠ACB相等来证∠OAD=∠E.根据垂径定理我们不难得出弧AG=弧BG,那么根据圆周角定理我们不难得出∠AOG=∠ACB,由此可得证.

    (2)我们可通过构建与OE,OD和圆的半径相关的相似三角形进行求解.连接OC,那么只要证明三角形ODC和OEC相似,即可得出关于上述三条线段的比例关系,从而求出半径,那么关键是正这两个三角形相似,已知了一个公共角,我们通过等边对等角可得出∠OAC=∠OCA,又由(1)的结果,便可得出∠OCA=∠E.由此就能证出这两三角形相似,得出OD,OE,OC三条线段的比例关系式后即可求出OC即圆的半径.

    (3)其实就是看∠ACB的度数,如果∠ACB是个钝角(弧AGB是优弧)那么点O在三角形外部,如果∠ACB是个锐角(弧AGB是劣弧),那么点O在三角形内部,如果∠ACB是个直角(弧AGB是个半圆),那么点O在AB上.

    (1)证明:连接OB,

    ∵GH⊥AB,

    AG=

    BG.

    ∴∠AOG=∠GOB=[1/2]∠AOB.

    ∵∠ACB=[1/2]∠AOB,

    ∴∠AOG=∠ACB.

    ∴∠AOD=∠DCE.

    又∠ADO=∠CDE,

    ∴∠OAD=∠E.

    (2)连接OC,则∠OAD=∠OCA,

    ∵∠OAD=∠E,

    ∴∠OCD=∠E.

    ∵∠DOC=∠COE,

    ∴△OCD∽△OEC.

    ∴[OC/OE]=[OD/OC].

    ∴OC2=OE•OD=(1+3)×1=4.

    ∴OC=2.

    即⊙O的半径为2.

    (3)当

    AGB是劣弧时,△CED的外心在△CED的外部;

    AGB是半圆时,△CED的外心在△CED的边上;

    AGB是优弧时,△CED的外心在△CED的内部.

    点评:

    本题考点: 三角形的外接圆与外心;等边三角形的性质;垂径定理;圆周角定理;相似三角形的判定与性质.

    考点点评: 本题主要考查了三角形的外心,圆周角定理,相似三角形的判定和性质等知识点.