解题思路:(1)由于三角形CDE和AOD中已经有一组对顶角,那么我们可通过证明它们的外角∠AOG和∠ACB相等来证∠OAD=∠E.根据垂径定理我们不难得出弧AG=弧BG,那么根据圆周角定理我们不难得出∠AOG=∠ACB,由此可得证.
(2)我们可通过构建与OE,OD和圆的半径相关的相似三角形进行求解.连接OC,那么只要证明三角形ODC和OEC相似,即可得出关于上述三条线段的比例关系,从而求出半径,那么关键是正这两个三角形相似,已知了一个公共角,我们通过等边对等角可得出∠OAC=∠OCA,又由(1)的结果,便可得出∠OCA=∠E.由此就能证出这两三角形相似,得出OD,OE,OC三条线段的比例关系式后即可求出OC即圆的半径.
(3)其实就是看∠ACB的度数,如果∠ACB是个钝角(弧AGB是优弧)那么点O在三角形外部,如果∠ACB是个锐角(弧AGB是劣弧),那么点O在三角形内部,如果∠ACB是个直角(弧AGB是个半圆),那么点O在AB上.
(1)证明:连接OB,
∵GH⊥AB,
∴
AG=
BG.
∴∠AOG=∠GOB=[1/2]∠AOB.
∵∠ACB=[1/2]∠AOB,
∴∠AOG=∠ACB.
∴∠AOD=∠DCE.
又∠ADO=∠CDE,
∴∠OAD=∠E.
(2)连接OC,则∠OAD=∠OCA,
∵∠OAD=∠E,
∴∠OCD=∠E.
∵∠DOC=∠COE,
∴△OCD∽△OEC.
∴[OC/OE]=[OD/OC].
∴OC2=OE•OD=(1+3)×1=4.
∴OC=2.
即⊙O的半径为2.
(3)当
AGB是劣弧时,△CED的外心在△CED的外部;
当
AGB是半圆时,△CED的外心在△CED的边上;
当
AGB是优弧时,△CED的外心在△CED的内部.
点评:
本题考点: 三角形的外接圆与外心;等边三角形的性质;垂径定理;圆周角定理;相似三角形的判定与性质.
考点点评: 本题主要考查了三角形的外心,圆周角定理,相似三角形的判定和性质等知识点.