Question

已知函数f（x）=（ax-2）ex在x=1处取得极值．

Answer 1

解题思路：（1）f′（x）=ae^x+（ax-2）e^x=（ax+a-2）e^x，由此利用导数性质能求出a=1．

（2）由f（x）=（x-2）e^x，得f′（x）=e^x+（x-2）e^x=（x-1）e^x．由f′（x）=0，得x=1，由此列表讨论，能求出f（x）在[m，m+1]上的最小值．

（1）f′（x）=ae^x+（ax-2）e^x=（ax+a-2）e^x

由已知得f'（1）=0即（2a-2）e^x=0解得：a=1

当a=1时，在x=1处函数f（x）=（x-2）e^x取得极小值，所以a=1．（4分）

（2）由f（x）=（x-2）e^x，

得f′（x）=e^x+（x-2）e^x=（x-1）e^x．

由f′（x）=0，得x=1，

列表讨论：

x（-∞，1）1（1，+∞）

f'（x）-0+

f（x）减增所以函数f（x）在（-∞，1）递减，在（1，+∞）递增；

当m≥1时，f（x）在[m，m+1]单调递增，f_min（x）=f（m）=（m-2）e^m，

当0＜m＜1时，m＜1＜m+1f（x）在[m，1]单调递减，

在[1，m+1]单调递增，f_min（x）=f（1）=-e．

当m≤0时，m+1≤1，f（x）在[m，m+1]单调递减，

fmin(x)＝f(m+1)＝(m−1)em+1．

综上，f（x）在[m，m+1]上的最小值：

fmin(x)＝

(m−2)em，m≥1

−e，0＜m＜1

(m−1)em+1，m≤0．（4分）

点评：

本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题考查实数值的求法，考查函数的最小值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．