Question

证明:不存在这样的三位数abc,使abc+bca+cab成为完全平方数

Answer 1

X= abc + bca + cab

=100a + 10b + c + 100b + 10c + a + 100c + 10a +b

=111(a+b+c)

=3×37×(a+b+c)

因为 a、b、c都是一位数,且不同时为0.所以 1 ≤ a+b+c ≤27

3和37都是质数.只有当 a+b+c = 3的奇数次方 × 37的奇数次方情况下,X 才能是完全平方数.这就要求 a+b+c的最小值是 3的1次方 × 37的1次方 = 111.而实际上a+b+c的最大可能值仅为27.因此 命题成立.