设Sn是数列{an}的前n项和，且2an+Sn=A - 知识问答

设Sn是数列{an}的前n项和，且2an+Sn=An2+Bn+C．

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解题思路：（1）由题意得
a
n
＝
2
3
a
n−1
，由此能求出
a
n
＝
1
3
(
2
3
)
n−1
．
（2）①数列{a_n}为等差数列，由通项公式与求和公式，能求出a_n=2n-1．
②由题
b
n
＝
2
n
a
n
＝(2n−1)
2
n
，由此利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．
（1）由题意得，2a_n+S_n=1，
∴2a_n-1+S_n-1=1（n≥2），
两式相减，得an＝
2
3an−1，…（3分）
又当n=1时，有3a₁=1，即a1＝
1
3，
∴数列{a_n}为等比数列，
∴an＝
1
3(
2
3)n−1．…（5分）
（2）①∵数列{a_n}为等差数列，由通项公式与求和公式，得：
2an+Sn＝2a1+2(n−1)d+
d
2n2+(a1−
d
2)n＝
d
2n2+(a1+
3d
2)n+2a1−2d，
∵A=1，C=-2，∴
d
2＝1，a₁-d=-2，∴d=2，a₁=1，
∴a_n=2n-1．…（10分）
②由题bn＝2nan＝(2n−1)2n，
Tn＝1•21+3•22+…+(2n−1)•2n，（ⅰ）
2T_n=1•2²+3•2³+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹（ⅱ）…（13分）
（ⅰ）式-（ⅱ）式得：
−Tn＝21+2•22+…+2•2n−(2n−1)•2n+1＝2+
23•(1−2n−1)
1−2−(2n−1)2n+1
=2+2³•（2^n-1-1）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴Tn＝(2n−3)•2n+1+6．…（16分）
点评：
本题考点：数列的求和；数列递推式．
考点点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．

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