Question

已知关于x的方程x2-（k+2）x+2k=0．

Answer 1

解题思路：（1）把一元二次方程根的判别式转化成完全平方式的形式，得出△≥0可知方程总有实数根．

（2）根据等腰三角形的性质分情况讨论求出b，c的长，并根据三角形三边关系检验，综合后求出△ABC的周长．

证明：（1）∵△=b²-4ac=（k+2）²-8k=（k-2）²≥0，

∴无论k取任意实数值，方程总有实数根．

（2）分两种情况：

①若b=c，

∵方程x²-（k+2）x+2k=0有两个相等的实数根，

∴△=b²-4ac=（k-2）²=0，

解得k=2，

∴此时方程为x²-4x+4=0，解得x₁=x₂=2，

∴△ABC的周长为5；

②若b≠c，则b=a=1或c=a=1，即方程有一根为1，

∵把x=1代入方程x²-（k+2）x+2k=0，得1-（k+2）+2k=0，

解得k=1，

∴此时方程为x²-3x+2=0，

解得x₁=1，x₂=2，

∴方程另一根为2，

∵1、1、2不能构成三角形，

∴所求△ABC的周长为5．

综上所述，所求△ABC的周长为5．

点评：

本题考点： 根的判别式；三角形三边关系；等腰三角形的性质．

考点点评： 考查根的判别式，等腰三角形的性质及三角形三边关系．