Question

定义在R上的函数f(x),对任意x,y∈R,豆油:f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y),且f（0）≠0,判断

Answer 1

首先令x=y=0,得2f(0)=2f(0)*f(0),因为f(0)≠0,所以f(0)=1.

奇函数在x=0处有定义,函数值必定为0（f(0)=-f(0),则f(0)=0)).

所以f(x)不是奇函数

令y=x则有f(2x)+f(0)=2f(x)*f(x)

令y=-x则有f(0)+f(2x)=2f(x)*f(-x)

于是有

f(x)*(f(x)-f(-x))=0,即f(x)=0或f(x)=f(-x)

但是x=0时,f(x)=1,所以函数只满足f(x)=f(-x),是偶函数.

（f(x)=0满足f(x)=f(-x))