如图,BC是半圆的直径,O为圆心,A是半圆上弧BF的中点,AD⊥BC于点D,AD与BF交于一点E,BA与CF交于点N.

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  • 解题思路:(1)根据题意可得相等线段有:AE=BE,AB=AF,CN=CB;

    (2)连接AC,易证得∠BAD=∠BCA,由A是半圆上弧BF的中点,可得AB=AF,又可得∠BAD=∠ABE,则可得AE=BE,然后由三线合一,可得CB=AN;

    (3)连接OA,易证得△OAD≌△OBG,继而可得BF=2AD.

    (1)相等线段有:AE=BE,AB=AF,CN=CB;

    (2)证明:连接AC,

    ∵BC是直径,

    ∴∠BAC=90°,

    ∴∠ABC+∠BCA=90°,

    ∵AD⊥BC,

    ∴∠ABC+∠BAD=90°,

    ∴∠BAD=∠BCA,

    ∵A是半圆上弧BF的中点,

    AB=

    AF,

    ∴AB=AF;∠BCA=∠ABE,

    ∴∠BAD=∠ABE,

    ∴AE=BE;

    ∵∠BCA=∠ECA,CA⊥AN,

    ∴∠N=∠ABC,

    ∴CN=CB;

    (3)证明:连接OA,交BF于点G,

    ∵A是弧BF的中点,O为圆心,

    ∴OA⊥BF,

    ∴BG=[1/2]BF,

    ∵AD⊥BC于点D,

    ∴∠ADO=∠BGO=90°,

    在△OAD与△OBG中,

    ∠ADO=∠BGO

    ∠AOD=∠BOG

    OA=OB,

    ∴△OAD≌△OBG(AAS),

    ∴AD=BG,

    ∴BF=2AD.

    点评:

    本题考点: 圆周角定理;全等三角形的判定与性质;垂径定理;圆心角、弧、弦的关系.

    考点点评: 此题考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.