解题思路：（Ⅰ）由f（x）=x（x2-ax-3），x∈R，
x＝−
1
3
是f(x)
的极值点，知
f
′
(−
1
3
)＝
1
3
+
2
3
a−3＝0
，由此得到f（x）=x3-4x2-3x，从而能求出f（x）在[1，4]上的最大值．
（Ⅱ）由f（x）在[1，+∞）上是增函数，知3x2-2ax-3≥0在[1，+∞）上恒成立．由此能求出a的范围．
（Ⅲ）函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，等价于方程x3-4x2-3x=bx恰有3个不等实根，由此能求出存在满足条件的b的取值范围．
（Ⅰ）∵f（x）=x（x2-ax-3），x∈R，∴f′（x）=3x2-2ax-3．…（2分）∵x＝−13是f(x)的极值点，∴f′(−13)＝13+23a−3＝0，解得a=4．∴f（x）=x3-4x2-3x，令f′（x）=3x2-8x-3，得x1＝−13，x2=3，则当x在[1，4]...
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
考点点评： 本题考查函数的最大值的求法，考查满足条件的实数的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．