（1）作AD⊥x轴于D
∵△AOB为等腰直角三角形
∴OD=AD=BD
设A（a,a）,
则a=3a-4,
解得a=2
∴点A（2,2）；…（3分）
（2）又点A在y=kx上,
∴k=4,反比列函数为y=4x；…（5分）
（3）存在． …（6分）
设M（m,n）
∵∠PAM=∠OAB=90°
∴∠OAP=∠BAM
∵OA=AB AP=AM
∴△OAP≌△BAM
∴∠ABM=∠AOP=45°
∴∠OBM=90°,即MB⊥x轴
∵△ABC是等腰三角形,A（2,2）
∴OB=4
∵点M在y=4x上
∴M（4,1）；…（9分）
（4）不存在 …（10分）
由（3）中所证易知：
若△PAN为等腰直角三角形
则：△PAB≌△NAO
∴∠NOA=∠PBA=45°
∴∠NOB=90°
则点N在y轴上,
∴点N不在双曲线上
∴点N不存在．