（1）∵直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴A（﹣4，0），B（0，4），
∵抛物线y=﹣x 2+bx+c经过A、B两点，
∴
，解得
，
∴抛物线解析式为y=﹣x 2﹣3x+4．
令y=0，得﹣x 2﹣3x+4=0，解得x 1=﹣4，x 2=1，
∴C（1，0）；
（2）如答图1所示，设D（t，0）．
∵OA=OB，
∴∠BAO=45°，
∴E（t，t），P（t，﹣t 2﹣3t+4）．
PE=y P﹣y E=﹣t 2﹣3t+4﹣t=﹣t 2﹣4t=﹣（t+2） 2+4，
∴当t=﹣2时，线段PE的长度有最大值4，此时P（﹣2，6）；
（3）存在．如答图2所示，过N点作NH⊥x轴于点H．
设OH=m（m>0），
∵OA=OB，
∴∠BAO=45°，
∴NH=AH=4﹣m，
∴y Q=4﹣m．又M为OA中点，
∴MH=2﹣m．△MON为等腰三角形：
①若MN=ON，则H为底边OM的中点，
∴m=1，
∴y Q=4﹣m=3．
由﹣x Q 2﹣3x Q+4=3，解得：x Q=
，
∴点Q坐标为（
，3）或（
，3）；
②若MN=OM=2，则在Rt△MNH中，
根据勾股定理得：MN 2=NH 2+MH 2，
即2 2=（4﹣m） 2+（2﹣m） 2，
化简得：m 2﹣6m+8=0，
解得：m 1=2，m 2=4（不合题意，舍去），
∴y Q=2，由﹣x Q 2﹣3x Q+4=2，解得：x Q=
，
∴点Q坐标为（
，2）或（
，2）；
③若ON=OM=2，则在Rt△NOH中，
根据勾股定理得：ON 2=NH 2+OH 2，
即2 2=（4﹣m） 2+m 2，
化简得：m 2﹣4m+6=0，
∵△=﹣8<0，
∴此时不存在这样的直线 l ，使得△MON为等腰三角形．
综上所述，存在这样的直线 l ，使得△MON为等腰三角形．
所求Q点的坐标为：（
，3）或（
，3）或
（
，2）或（
，2）．