Question

设函数f（x）=ka x -a -x （a＞0且a≠1）是定义域为R上的奇函数．

Answer 1

（1）∵f（x）是定义域为R上的奇函数，

∴f（0）=0，∴k-1=0，∴k=1，经检验k=1符合题意；

（2）∵f（1）＞0，∴ a-

1

a ＞0 ，又a＞0且a≠1，∴a＞1，

易知在R上单调递增，

原不等式化为：f（x ²+2x）＞f（4-x），∴x ²+2x＞4-x，即x ²+3x-4＞0，

∴x＞1或x＜-4，

∴不等式的解集为{x|x＞1或x＜-4}；

（3）∵ f(1)=

3

2 ，∴ a-

1

a =

3

2 ，即2a ²-3a-2=0，

解得 a=2或a=-

1

2 （舍去），

∴g（x）=2 ^2x+2 ^-2x-2m（2 ^x-2 ^-x）=（2 ^x-2 ^-x） ²-2m（2 ^x-2 ^-x）+2．

令t=f（x）=2 ^x-2 ^-x，∵x≥1，∴ t≥f(1)=

3

2 ，

∴g（t）=t ²-2mt+2=（t-m） ²+2-m ²，

当 m≥

3

2 时，当t=m时， g(t ) min =2- m 2 =-2 ，∴m=2；

当 m＜

3

2 时，当 t=

3

2 时， g(t ) min =

17

4 -3m=-2 ，

解得 m=

25

12 ＞

3

2 ，舍去，

综上可知m=2．