Question

如图，在棱长都等于1的三棱锥A-BCD中，F是AC上的一点，过F作平行于棱AB和棱CD的截面，分别交BC，AD，BD于E

Answer 1

解题思路：（1）根据面面平行的性质定理，可得AB∥EF，AB∥GH，进而EF∥GH，同理EH∥CD∥FG，则可得四边形EFGH是平行四边形，结合四棱锥的几何特征，证得EF⊥CD后，可得截面EFGH是矩形；

（2）设FG=x，x∈（0，1），可得四边形面积的解析式：S_EFGH=EF•FG=x（1-x），进而根据二次函数的图象和性质，可得答案．

证明：（1）∵AB∥平面EFGH，

平面ABC∩平面EFGH=EF

∴AB∥EF

同理AB∥GH

∴EF∥GH

同理EH∥CD∥FG

∴四边形EFGH是平行四边形

取CD中点S，连接AS，BS

∵AC=AD，S是CD中点

∴AS⊥CD

同理 BS⊥CD

又∵AS∩BS=S

∴CD⊥平面ABS

∴CD⊥AB

又∵AB∥EF，FG∥CD

∴EF⊥CD

即 四边形EFGH是矩形

（2）设FG=x，x∈（0，1）

由（1）知[FG/CD]=[AF/AC]=[AB-EF/AB]，

又CD=AB=1

∴EF=1-x

则S_EFGH=EF•FG=x（1-x）

=-（x-[1/2]）²+[1/4]

∴当x=[1/2]时，S_EFGH最大

即F是AC的中点时，截面面积最大

点评：

本题考点： 棱锥的结构特征．

考点点评： 本题考查的知识点是棱锥的结构特征，特殊四边形的判定，二次函数的图象和性质，熟练掌握棱锥的结构特征是解答的关键．