Question

已知对于任意实数x，函数f（x）满足f（-x）=f（x）．若方程f（x）=0有2009个实数解，则这2009个实数解之和

Answer 1

解题思路：不妨设方程f（x）=0的实数解为x₁，x₂，…，x₂₀₀₉，且x₁＜x₂＜…＜x₂₀₀₉，由f（-x）=f（x），可知实数解关于原点对称，由此可求得答案．

设方程f（x）=0的实数解为x₁，x₂，…，x₂₀₀₉，

不妨设x₁＜x₂＜…＜x₂₀₀₉，

又f（-x）=f（x），

∴如存在x₀使f（x₀）=0，则f（-x₀）=0，

∴x₁+x₂₀₀₉=0，x₂+x₂₀₀₈=0，…，x₁₀₀₄+x₁₀₀₆=0，x₁₀₀₅=0，

∴x₁+x₂+…+x₂₀₀₉=0．

故答案为：0．

点评：

本题考点： 函数奇偶性的性质．

考点点评： 本题考查偶函数的性质、方程的解，考查学生的观察能力，属基础题．