解题思路:(1)利用矩形的性质,在Rt△ABC中,利用三角函数求出AC、BC的长度,从而得到A点坐标;由点D与点A关于y轴对称,进而得到D点的坐标;
(2)欲证△AEF与△DCE相似,只需要证明两个对应角相等即可.如图①,在△AEF与△DCE中,易知∠CDE=∠CAO,∠AEF=∠DCE,从而问题解决;
(3)当△EFC为等腰三角形时,有三种情况,需要分类讨论:
①当CE=EF时,此时△AEF与△DCE相似比为1,则有AE=CD;
②当EF=FC时,此时△AEF与△DCE相似比为[6/5],则有AE=[5/6]CD;
③当CE=CF时,F点与A点重合,这与已知条件矛盾,故此种情况不存在.
(1)由题意tan∠ACB=[4/3],∴cos∠ACB=[3/5].
∵四边形ABCO为矩形,AB=16,
∴BC=[AB/tan∠ACB]=12,AC=[BC/cos∠ACB]=20,
∴A点坐标为(-12,0),
∵点D与点A关于y轴对称,
∴D(12,0).
(2)点D与点A关于y轴对称,∴∠CDE=∠CAO,
∵∠CEF=∠ACB,∠ACB=∠CAO,
∴∠CDE=∠CEF,
又∵∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠CDE+∠DCE(三角形外角性质)
∴∠AEF=∠DCE.
则在△AEF与△DCE中,∠CDE=∠CAO,∠AEF=∠DCE,
∴△AEF∽△DCE.
(3)当△EFC为等腰三角形时,有以下三种情况:
①当CE=EF时,
∵△AEF∽△DCE,
∴△AEF≌△DCE
∴AE=CD=20,
∴OE=AE-OA=20-12=8,
∴E(8,0);
②当EF=FC时,如图②所示,过点F作FM⊥CE于M,则点M为CE中点,
∴CE=2ME=2EF•cos∠CEF=2EF•cos∠ACB=[6/5]EF.
∵△AEF∽△DCE,
∴[EF/CE=
AE
CD],即[EF
6/5EF=
AE
20],解得AE=[50/3],
∴OE=AE-OA=[50/3]-12=[14/3],
∴E([14/3],0);
③当CE=CF时,则有∠CFE=∠CEF,
∵∠CEF=∠ACB=∠CAO,
∴∠CFE=∠CAO,即此时E点与D点重合,这与已知条件矛盾.
综上所述,当△EFC为等腰三角形时,点E的坐标为(8,0)或([14/3],0).
点评:
本题考点: 相似三角形的判定与性质;坐标与图形性质;等腰三角形的性质;矩形的性质;解直角三角形.
考点点评: 本题综合考查了矩形、等腰三角形、直角三角形等平面几何图形在坐标平面内的性质与变换,相似三角形的判定与性质应用是其核心.难点在于第(3)问,当△EFC为等腰三角形时,有三种情况,需要分类讨论,注意不要漏解.