(2012•巴中)如图,在平面直角坐标系中,点A、C分别在x轴、y轴上,四边形ABCO为矩形,AB=16,点D与点A关于

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  • 解题思路:(1)利用矩形的性质,在Rt△ABC中,利用三角函数求出AC、BC的长度,从而得到A点坐标;由点D与点A关于y轴对称,进而得到D点的坐标;

    (2)欲证△AEF与△DCE相似,只需要证明两个对应角相等即可.如图①,在△AEF与△DCE中,易知∠CDE=∠CAO,∠AEF=∠DCE,从而问题解决;

    (3)当△EFC为等腰三角形时,有三种情况,需要分类讨论:

    ①当CE=EF时,此时△AEF与△DCE相似比为1,则有AE=CD;

    ②当EF=FC时,此时△AEF与△DCE相似比为[6/5],则有AE=[5/6]CD;

    ③当CE=CF时,F点与A点重合,这与已知条件矛盾,故此种情况不存在.

    (1)由题意tan∠ACB=[4/3],∴cos∠ACB=[3/5].

    ∵四边形ABCO为矩形,AB=16,

    ∴BC=[AB/tan∠ACB]=12,AC=[BC/cos∠ACB]=20,

    ∴A点坐标为(-12,0),

    ∵点D与点A关于y轴对称,

    ∴D(12,0).

    (2)点D与点A关于y轴对称,∴∠CDE=∠CAO,

    ∵∠CEF=∠ACB,∠ACB=∠CAO,

    ∴∠CDE=∠CEF,

    又∵∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠CDE+∠DCE(三角形外角性质)

    ∴∠AEF=∠DCE.

    则在△AEF与△DCE中,∠CDE=∠CAO,∠AEF=∠DCE,

    ∴△AEF∽△DCE.

    (3)当△EFC为等腰三角形时,有以下三种情况:

    ①当CE=EF时,

    ∵△AEF∽△DCE,

    ∴△AEF≌△DCE

    ∴AE=CD=20,

    ∴OE=AE-OA=20-12=8,

    ∴E(8,0);

    ②当EF=FC时,如图②所示,过点F作FM⊥CE于M,则点M为CE中点,

    ∴CE=2ME=2EF•cos∠CEF=2EF•cos∠ACB=[6/5]EF.

    ∵△AEF∽△DCE,

    ∴[EF/CE=

    AE

    CD],即[EF

    6/5EF=

    AE

    20],解得AE=[50/3],

    ∴OE=AE-OA=[50/3]-12=[14/3],

    ∴E([14/3],0);

    ③当CE=CF时,则有∠CFE=∠CEF,

    ∵∠CEF=∠ACB=∠CAO,

    ∴∠CFE=∠CAO,即此时E点与D点重合,这与已知条件矛盾.

    综上所述,当△EFC为等腰三角形时,点E的坐标为(8,0)或([14/3],0).

    点评:

    本题考点: 相似三角形的判定与性质;坐标与图形性质;等腰三角形的性质;矩形的性质;解直角三角形.

    考点点评: 本题综合考查了矩形、等腰三角形、直角三角形等平面几何图形在坐标平面内的性质与变换,相似三角形的判定与性质应用是其核心.难点在于第(3)问,当△EFC为等腰三角形时,有三种情况,需要分类讨论,注意不要漏解.