Question

已知函数 f(x)= ax x 2 +b 在x=1处取得极值2．

Answer 1

（1）因 f / (x)=

a( x 2 +b)-ax(2x)

( x 2 +b) 2 ，

而函数 f(x)=

ax

x 2 +b 在x=1处取得极值2，

所以

f / (1)=0

f(1)=2 ⇒

a(1+b)-2a=0

a

1+b =2 ⇒

a=4

b=1

所以 f(x)=

4x

1+ x 2 ；

（2）由（1）知 f / (x)=

4( x 2 +1)-8 x 2

( x 2 +1) 2 =

-4(x-1)(x+1)

(1+ x 2 ) 2 ，

如图，f（x）的单调增区间是[-1，1]，

所以，

m≥-1

2m+1≤1

m＜2m+1 ⇒-1＜m≤0，

所以当m∈（-1，0]时，函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增．

（3）由条件知，过f（x）的图形上一点P的切线l的斜率k为： k= f / ( x 0 )=

4(1- x 0 2 )

(1+ x 0 2 ) 2 =4×

-1- x 0 2 +2

(1+ x 0 2 ) 2 = 4[

2

(1+ x 0 2 ) 2 -

1

1+ x 0 2 ]

令 t=

1

1+ x 0 2 ，则t∈（0，1]，此时， k=8( t 2 -

1

2 t)=8(t-

1

4 ) 2 -

1

2

根据二次函数 k=8(t-

1

4 ) 2 -

1

2 的图象性质知：

当 t=

1

4 时，k _min= -

1

2 ，当t=1时，k _max=4

所以，直线l的斜率k的取值范围是 [-

1

2 ， 4 ] ．