Question

已知x=0是函数f（x）=（x 2 +ax+b）e x （x∈R）的一个极值点，且函数f（x）的图象在x=2处的切线的斜

Answer 1

（I）f ^′（x）=[x ²+（a+2）x+a+b]e ^x

由f ^′（0）=0得b=-a∴f ^′（x）=[x ²+（a+2）x]e ^x

又f ^′（2）=2e ²

∴[4+2（a+2）]e ²=2e ²

故a=-3

令f ^′（x）=（x ²-x）e ^x≥0得x≤0或x≥1

令f ^′（x）=（x ²-x）e ^x＜0得0＜x＜1

故：f（x）=（x ²-3x+3）g ^x，单调增区间是（-∞，o]，[1，+∞），单调减区间是（0，1）．

（Ⅱ）假设方程g（x）=

2

3 (m-1) 2 在区间（-2，m）上存在实数根

设x ₀是方程 g(x)=

2

3 (m-1) 2 的实根，

x 20 - x 0 =

2

3 (m-1) 2 ，

令 h(x)= x 2 -x-

2

3 (m-1) 2 ，从而问题转化为证明方程 h(x)= x 2 -x-

2

3 (m-1) 2 =0

在（-2，m）上有实根，并讨论解的个数

因为 h(-2)=6-

2

3 (m-1) 2 = -

2

3 (m+2) (m-4) ， h(m)=m(m-1)-

2

3 (m-1) 2 =

1

3 (m+2)(m-1) ，

所以

①当m＞4或-2＜m＜1时，h（2）-h（m）＜0，所以h（x）=0在（-2，m）上有解，且只有一解

②当1＜m＜4时，h（-2）＞0且h（m）＞0，但由于 h(0)=-

2

3 (m-1) 2 ＜0 ，

所以h（x）=0在（-2，m）上有解，且有两解

③当m=1时，h（x）=x ²-x=0⇒x=0或x=1，所以h（x）=0在（-2，m）上有且只有一解；

当m=4时，h（x）=x ²-x6=0⇒x=-2或x=3，

所以h（x）=0在（-2，4）上也有且只有一解，

综上所述，对于任意的m＞-2，方程g（x）=

2

3 (m-1) 2 在区间（-2，m）上均有实数根

且当m≥4或-2＜m≤1时，有唯一的实数解；当1＜m＜4时，有两个实数解．