Question

已知函数fx满足对任意实数a,b,有f(（a+2b）/3）=（f(a)+2f(b)）/3,f(1)=1,f(4)=7,则

Answer 1

f(1)=1,f(4)=7,令a=4,b=1,得f(2)=3,

令a=1,b=4,得f(3)=5,

猜f(n)=2n-1.①

n=1,2,3,4时①成立.

假设对于小于或等于n的正整数,①都成立,

令a=n-2,b=n+1,得f(n)=[f(n-2)+2f(n+1)]/3,

∴f(n+1)=[3f(n)-f(n-2)]/2=[3(2n-1)-(2n-5)]/2=2(n+1)-1,

即对n+1,①也成立.

∴对任意正整数n,①都成立.

∴f(2014)=2*2014-1=4027.