解题思路：假设四个角上的数是a、b、c、d，每条边上三个数的和是k，则有：1+2+3+4+5+6+7+8+a+b+c+d=4k，36+a+b+c+d=4k，9+（a+b+c+d）÷4=k，k是整数，所以四个角上的数的和是4的倍数，1+2+3+6=12，k=9+3=12，其他四个数4、5、7、8，1+3+8=12，2+3+7=12，1+6+5=12，2+4+6=12；成立．2+3+4+7=16，k=4+9=13．其他四个数1、5、6、8，2+3+8=13，4+7+1=12，3+4+6=13，2+5+7=14，不成立．其他情况都不成立．
所填数字如下图：
答：这个和的取值为12．
点评：
本题考点： 凑数谜．
考点点评： 此题考查了相等和值问题，列出等式，凑数，即可得解．