根据三次多项式除以X－1时所得的余数是1,可设该多项式Y＝（x-1）（ax2+bx+c）+1
根据该三次多项式除以x－2时所得的余数是3,可设该多项式Y＝（x-3）(dx2+ex+f)+3
设该三次多项式除以(x-1)(x－2)时所得的余数是n
可设Y＝(x-1)(x－2)（gx＋h）＋n
所以（x-1）（ax2+bx+c）+1＝（x-3）(dx2+ex+f)+3＝(x-1)(x－2)（gx＋h）＋n
即ax3+(b-a)x2+(c-b)x-c+1=dx3+(e－3d)x2＋（f－3e）x－3f＋3＝gx3＋（h－3g）x2＋（2g－3h）x＋2h＋n
对比等式两边的同次项系数,可知
a=d=g (1)
b-a=e-3d=h-3g (2)
c-b=f-3e=2g-3h (3)
1-c=3-3f=2h+n (4)
把(1)带入（2）式中e-3d=h-3g 得 e－3a＝h-3a
所以e=h (5)
把（1）、（5）带入（3）式中f-3e=2g-3h 得 f-3e=2a-3e
所以f＝2a (6)
把（6）带入(4)式中1-c=3-3f 得1-c＝3－6a
所以c＝6a－2 (7)
由（2）式中b-a=e-3d 即b-a＝e-3a 所以b＝e－2a （8）
由（3）式中c-b=f-3e 即c-b=2a-3e （9）
（8）＋（9）得c＝-2e （10）
由（4）式中1-c=2h+n 即1-c＝2e+n
所以n＝1－（c－2e）
把（10）代入上式得：n＝1
所以这个多项式除以（X－1）（X－2）时,所得的余数1