Question

已知函数f（x）=-1+loga（x+2）（a＞0，且a≠1），g（x）=(12)x−1．

Answer 1

解题思路：（1）由log_a1=0可得y=f（x）的图象恒过定点A的坐标；

（2）将点（2，[1/2]）代入F（x）的解析式，求出a，利用根的存在性定理和函数的单调性证明即可．

（1）由log_a1=0可得f（-1）=-1+log_a1=-1，故A（-1，-1）

（2）∵F(x)＝−1+loga(x+2)−(

1

2)x−1过(2，

1

2)

∴a=2

∴F(x)＝−1+log2(x+2)−(

1

2)x−1

∵y＝log2(x+2)，y＝(

1

2)x−1分别为（-2，+∞）上的增函数和减函数

∴F（x）为（-2，+∞）上的增函数

∴F（x）在（-2，+∞）上至多有一个零点

又（1，2）⊂（-2，+∞）

∴F（x）在（1，2）上至多有一个零点

而F(2)＝−1+2−(

1

2)+1＝

1

2＞0F(1)＝−1+log23−(

1

2)0＝log23−2＜0

∴F（x）=0在（1，2）上有唯一解

点评：

本题考点： 函数的零点与方程根的关系；对数函数的单调性与特殊点；函数与方程的综合运用．

考点点评： 本题考查对数函数的性质、函数图象的交点问题、根的存在性定理等知识．