Question

设A是3阶可逆矩阵,交换A的1,2行得B,证明 交换A*1,2列得到-B*.

Answer 1

证明:设E(1,2)为交换3阶单位矩阵的1,2行得到的初等矩阵

则 B = E(1,2)A.

所以 B* = [E(1,2)A]* = A*E(1,2)*

由于 E(1,2)* = |E(1,2)|E(1,2)^-1 = -E(1,2)

所以 B* = -A*E(1,2)

即有 A*E(1,2) = -B*.

所以交换A*的1,2列得 -B*.