Question

设T为线性空间V的一个线性变换,且T的平方等于T,证明T的特征值只能是1或0

Answer 1

设 a 为T的特征值,设x为对于的非零特征向量.则：Tx = ax

T^2 = T ==> T^2 x = Tx

T(T(x))=Tx

T(ax)=ax

aTx=ax

a(ax)=ax

a^2 x - ax =0

(a^2-a) x = 0

因为 x 非零向量,所以必有 a^2 - a = 0,a(a-1) = 0 ==> a = 0 或 1.